İspat Nedir, Ne Değildir?

Bertrand Russel’a göre tüm matematik  “p ise q” formundaki önermelerin kümesidir. Bu ifade, yaşamını,  matematiği mantığa indirgeme çabasıyla geçiren bir bilim adamı için gayet beklenen bir cümledir. Peki gerçekten durum böyle midir?

Bu ifadeyi daha anlaşılır kılmak için , Aksiyomatik Yöntem denen ama daha çok Tümdengelim olarak bilinen yöntemden bahsedelim. Aristotales, mantığın kurucusu olarak bilinir. Ayrıca Aristotales’in mantık dizgelerini oluştururken matematiksel akıl yürütmelerden veya formlardan epeyce yararlandığı söylenir. Buna karşın Aristotales’ten hemen sonra gelen Öklid, matematiği –aslında geometriyi- ilk olarak mantıksal bir dizge içinde sunan matematikçidir. Öklid’in yaptığı şey aslında yeni matematik bilgileri üretmek değil, aksine o dönem farklı coğrafyalarda tecrübeyle üretilmiş ve bir şekilde öğrendiği matematiksel bilgileri mantıksal bir yöntemle bize sunmasıdır.

Aksiyomatik yöntemi oluşturmak için öncelikle bir kısım temel tanımların verilmesi gerekir. Örneğin Öklid geometrisinde bu temel tanımlar, nokta, doğru, düzlem.. vb. olarak verilebilir. Daha sonra ise doğrulu apaçık olan, yani başka herhangi bir bilgiye atıfta bulunulmadan doğruluğu aşikar olan temel önermeler belirlenir ve bunlara aksiyom veya postulat adı verilir. Aslında belli bir konuya özgü apaçık önermelere postulat, daha genel önermelere aksiyom deriz. Fakat günümüzde bu tanımlar iç içe geçmiştir. Bunları belirlerken oldukça dikkatli olmamız gerekir. Öncelikle bunların en yalın şekliyle ve en az sayıda olacak şekilde verilmesi gerekir. Örneğin, Öklid geometrisinin temel postulatlarını ve temel aksiyomlarını verelim.

Temel 5 postulat;

• Bir doğru herhangi bir noktadan başka bir noktaya çizilebilir.
• Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.
• Herhangi bir daireyi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz.
• Tüm dik açılar birbirine eşittir.
• İki doğru üzerine düşen bir doğru çizgi, aynı yandaki iç açıları birlikte iki dik açıdan az yapıyorsa, iki doğru çizgi, iç açıların bulunduğu yanda yeterince uzatıldığında birleşir.

Örneğin ikinci postulatı düşünelim, herhangi bir doğrunun sonsuza kadar (süreklilikten kasıt budur) uzatılabilirliğini fiziksel olarak deneyleyemeyiz. Fakat Öklid için mühim olan onun fiziksel olarak mümkün olup olmadığı değil, O onun olabileceği kavramlaştırılmasıyla ilgilenmiştir. Bu yöntemi değerli kılan ise tam da burasıdır.

Öklid’ in beş aksiyomu şöyledir;

• Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.
• Eşit şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.
• Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşit olur.
• Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.
• Bütün parçasından büyüktür.

Ayrıca bir kaç temel kavramın tanımını başta vermiştir. Bunların bir kaçını verelim.

• Nokta: Büyüklüğü( ya da) parçası olmayan nesne.
• Doğru: Genişliği olmayan nesne.
• Yüzey: Yalnızca eni ve boyu olan nesne.

Böylece sistemi tanıttığımızı düşünüyoruz. Bu noktadan sonra öteki tüm önermeler bu aksiyom veya postulatlardan türetilmek zorundadır. Buna bir önermenin ispatlanması diyoruz. Yani “p ise q” önermesi “q” nun doğru olduğunu değil, “p” nin doğru olması koşulu altında doğruluğundan bahseder. Böylece bir tür zincirle tüm önermeler en gerideki apaçık doğrulara eklemlendiğinden doğruluğu hiçbir dönemde değişmeyecek bilgilere ulaştığımız iddia edilir.

Bu yöntemin önemi, bir önermenin doğru veya yanlış olduğuna ilk defa sadece kendi sistemi içinde cevap vermesi yani herhangi başka bir referans noktasının olmamasıdır. Tek kaynak insan zihnidir. Bu durum modern insan için oldukça mühimdir. Şöyle ki, insanın epistemik bir özne olarak konumlandırıldığı moderniteyle birlikte bu yöntem insanın mutlak -değişmez- nesnel bir bilgi üretebileceği umuduyla bir çok disipline uygulanmıştır.

Örneğin Spinoza “Ahlak Öğretisini” aksiyomatik geometri yöntemine (tümdengelimsel metot) uygun bir düzenle sunar. Yani tüm ahlak kural ve ilkelerini, temel saydığı bir kaç apaçık ilkenin zorunlu sonuçları olduğunu göstermeye çalışır. Benzer şekilde Leibniz bu yöntemle siyasal sorunlara çözüm getirmeye çalışmıştır. Yine  Hobbes , Öklid’in geometri için uyguladığı bu tümdengelimsel yöntemi, kendi  siyaset felsefesine uygulamaya çalışmıştı.

Öte yandan çok sonra bulunan Öklid dışı geometriler aslında hakikate dair tasavvurumuzu önemli ölçüde etkilemiştir. Şöyle ki, temel aksiyom ve postulatları değiştirerek bir çok farklı geometri elde edebiliriz. Bunlardan örneğin üçgenin iç açılarının 90 dereceden fazla olduğu Riemann Geometrisi (küresel geometri) ve az olduğu Eliptik Geometriden bahsedebiliriz. İlginç olan tümü kendi içinde tutarlı olan ve böylelikle doğru bilgiye karşılık gelen sistemlerin hiçbiri evreni tam olarak açıklayamamaktadır. Hatta evrenin farklı yerlerinde farklı geometrilerden bahsedilmektedir. Örneğin kara deliklerde eliptik geometrinin olduğuna buna karşın dünya yüzeyinde Riemann Geometrisinin geçerli olduğuna dair düşünceler vardır. Bu durum Evrenin eğriliği ile açıklanır. Eğrilik ise kütle çekim yasası ile açıklanır. Doğal olarak yer çekiminin değişmesine bağlı olarak, eğriliğin sıfır, pozitif ve negatif olma durumu oluşuyor ve buradan da farklı geometrilere geçiyoruz. En azından günümüz bilim düşüncesinin açıklaması bu şekilde.

Başa dönecek olursak, tüm matematiğin bu tür önermeler sarmalıyla verilemeyeceği ve sezgisel olarak olan, fakat mantıksal olarak herhangi bir yere dayandıramadığımız bilgiler vardır. (Örneğin seçim aksiyomu). Bu durumun olağanüstü olduğunu iddia etmemiz, yine kullandığımız yönteme yüklediğimiz anlamdan kaynaklanmaktadır. Kanaatimizce insanın bir şekilde, ister tecrübi olarak, ister sezgisel olarak edindiği bilgileri bir yöntemle sunma çabası anlaşılır bir çabadır. Fakat anlamsız olan, tüm bilebileceklerimizi bu yöntem içinde bilinebilecekler arasına hapsetmemizdir. Yani olan şey, daha çok açıklama gayesiyle anlamdan uzaklaşmaktır.